复变函数 课程教学大纲
课程名称：复变函数
英文名称：Complex Analysis
学时数：48
学分数：3
适用专业：信息与计算科学
一、课程的性质、目的和任务
复变函数课程是信息与计算科学专业的核心主干课程。作为专业必修课程，它是继数学分析课后的另一门基础的分析类课程。复变函数处理的对象是复变量函数，该课程分别从Cauchy积分理论和Weirstrass级数理论出发，展开和研究了解析函数理论，把数学分析中的有关理论推广到复数域。
本课程主要内容包括：复数与复变函数，解析函数，复变函数的积分，解析函数的幂级数表示法，解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点，留数理论及其应用，共形映射等。复变函数的理论和方法直接应用于概率论与数理统计、常微分方程、数学物理方程等其它数学分支，在理论物理、热学、电磁学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域也有广泛的应用。
通过本课程的学习使学生掌握复变函数的基本理论和方法，培养学生的逻辑思维能力，为以后的学习打下坚实的基础；扩展学生视野，为其进一步学习复变函数在自然科学和工程技术中的广泛应用奠定良好的数学基础。
二、课程教学内容、基本要求和学时分配
（一）复数与复变函数（6学时）
了解复数的定义及其几何意义，掌握复数的运算；了解单连通区域与复连通区域；理解并掌握复变函数的概念、极限与连续性； 了解复球面与无穷远点的概念。
重点：复数的三角形式和指数形式，复平面上的点集的相关概念，复变函数的概念、极限与连续性。
难点：幅角的计算，复数的乘幂与方根，无穷远点的概念。
（二）解析函数（6学时）
理解解析函数的定义、性质及其判断的充分必要条件；了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；熟练掌握利用柯西-黎曼方程判别解析函数的方法；理解初等函数的定义和性质，主要是幂函数与指数函数；了解初等多值函数单值化方法（限制幅角或割破复平面）；掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值 。
重点：利用柯西-黎曼方程判别解析函数及相关计算、证明，掌握常见初等函数 。
难点：解析函数的定义，柯西-黎曼方程及相关问题，初等多值函数分出单叶解析分支 。
（三） 复变函数的积分（8学时）
理解复积分的定义，掌握复积分的计算方法；理解柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式；熟练掌握利用Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；理解Cauchy积分定理的推广；了解Liouville定理、Cauchy不等式；掌握利用Morera定理判断解析函数的方法 ；了解调和函数的定义；掌握解析函数与调和函数的关系，掌握利用调和函数构造解析函数的方法。
重点：Cauchy积分定理，Cauchy积分公式和高阶导数公式在计算函数沿闭曲线的积分中的应用 ，掌握利用调和函数构造解析函数的方法。
难点：高阶导数公式的计算应用，Cauchy积分定理的推广 ，解析函数的实部与虚部的互求。
（四）解析函数的幂级数表示法（6学时）
了解复级数的相关概念；掌握复变函数项级数的收敛与一致收敛，一致收敛的和函数的分析性质，解析函数项级数的和函数的解析性质；理解解析函数的幂级数表示，理解收敛圆，收敛半径的概念；掌握幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性，解析函数的零点孤立性、唯一性定理，最大模原理；熟练掌握一些初等函数的Taylor展式。
重点：幂级数收敛半径、收敛圆的确定，一些初等函数的Taylor展式，零点的孤立性、唯一性定理，最大模原理 。
难点：初等函数的Taylor展式的计算。
（五）解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点（6学时）
了解双边幂级数的有关概念；了解Laurent定理，掌握将函数在孤立奇点展成Laurent级数的方法；理解孤立奇点的概念，了解解析函数在孤立奇点邻域内的性质，掌握判断孤立奇点类型的方法；了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。
重点：函数在孤立奇点的Laurent展式，判断孤立奇点类型。
难点：函数在孤立奇点的Laurent展式，孤立奇点类型的判断，无穷远点的孤立奇点类型判断。
（六）留数理论及其应用（8学时）
理解留数的定义，掌握留数的计算；理解留数定理，掌握用留数定理计算实积分；掌握幅角原理及其应用，了解对数留数。
重点：留数的计算，用留数定理计算实积分。
难点：对数留数，幅角原理，留数的计算，留数定理计算实积分。
（七） 共形映射（8学时）
理解解析变换的特性；掌握分式线性变换的映射性质及相关计算；掌握幂函数、指数函数、根式函数、对数函数的映射性质。
重点：解析变换的特性，分式线性变换的映射性质及计算。
难点：分式线性变换的计算，初等函数的映射性质。
三、课程各教学环节的要求
课堂授课，布置作业，按时辅导答疑，习题课总结练习。复变函数课程中的习题，技巧性一般都较强，要求学生多作习题，教师多作讲解。教学中，从定义的引入、定理的叙述和证明、一直到应用，都要充分重视和强调问题的背景和来源。整个课程作为一个整体，要给学生讲清楚各章节之间相互之间的联系，让学生充分掌握复变函数的概念、理论和计算方法。
四、本课程与其它课程的联系
本课程为信息与计算科学专业一门重要的专业必修课，其先修课程为：数学分析 解析几何。后继课程为：数学物理方程等。
五、教学参考书
《复变函数论》钟玉泉著 高等教育出版社 2013年8月 第四版
《复变函数》余家荣著 高等教育出版社 2002年7月 第三版
《复变函数》杨纶标著 科学出版社 2003年8月 第一版
《复变函数与积分变换》冯卫兵 中国矿业大学出版社 2013年1月 第一版